預期價值 Polymarket 仲裁：如何正確計算 EV

本指南逐步示範如何計算 Polymarket 仲裁交易的預期價值（expected value，EV），包含 taker 手續費、部分成交機率與結算風險。如果你在 Polymarket 做 intra-market 的二元或多選項套利，這些公式能把名義價差轉成可執行的 EV 估計。

要點總覽

• EV = (贖回金 − 成本 − 手續費) × 成交機率 − 來自部分成交與結算時序的下行風險。
• 必須納入 taker 手續費與預期部分成交率；Polymarket 的 maker 手續費為零，只有在你掛被動流動性時才相關。
• 對於小尺寸，使用簡單的機率模型（Bernoulli 或二項分配）來模擬部分成交；當執行跨多個價格層時，放大模型或分片處理。
• 千萬不要將套利交易稱為「無條件的無風險」——務必列出解析風險、滑點、手續費、UMA 爭議與智能合約或時序風險。

1. 預測市場仲裁的 EV 基礎

從基本原理出發。完整且成功的套利（買入一套完整的結果代幣）花費 C（即各腿以 best-ask 買入的總和加上任何 taker 手續費），並在解析後每套最終可贖回為 $1.00。名義 edge 為：

Edge = 1.00 − C

在扣除手續費與執行風險前的預期值就是每套的 Edge。對實務交易你必須把它轉成 EV（期望金額收益），考慮手續費、報價成交的機率，以及可能的部分成交。

EV_basic = Edge × FillProbability − Fees_expected

下面章節會細化 FillProbability 與 Fees_expected 的估算。

2. 納入 taker 手續費與結算流程

在 Polymarket 上 taker 手續費依分類而異，目前介於 0% 到 1.8% 之間；maker 手續費為零。對套利而言，通常對跨價差執行的已成交腿支付 taker 手續費。

當你買入 N 個結果（在多選市場是一整套，在二元則為 YES 與 NO 兩腿），計算毛成本：

C_gross = Σ bestAsk_i

Taker 手續費以基點或百分比表示。若 fee_rate 為 taker 手續費（十進位），則手續費約為：

Fees = fee_rate × C_gross

若某些腿以 maker 方式成交（對於緊密套利較少見），它們的手續費為零；可透過把 C_gross 分成 maker 與 taker 部分來建模。

淨成本 C_net = C_gross + Fees

若完全成交且可贖回，名義利潤為：

Profit_full = 1.00 − C_net

但 Profit_full 只會在 FillProbability_full 的機率下實現，所以 EV 的貢獻為 Profit_full × FillProbability_full。

3. 模擬部分成交與非對稱執行

部分成交是實務損失的最常見來源。兩個例子：

• 你的買單把 YES 完全買進，但 NO 只買到部分，造成你持有未對沖的 YES 暴露，且其價格高於隱含對沖價格。
• 成交分布在多個價格層；實際實現的 C_gross 高於第一層 best ask 的總和。

對於小訂單，一個簡單且有用的模型是以每腿在顯示 best ask 的 Bernoulli 全成機率來模擬。對較大尺寸，可以把成交視為二項分配或把量切成確定性的片段跨層價格執行。

計算中使用的符號：

• q_i = 對腿 i 的預期數量（以 outcome 股數計）
• f_i = q_i 在掛單價位被完全成交的機率
• r_i = 對腿 i 的預期成交比例（0 ≤ r_i ≤ 1）

若可能出現部分成交，期望成本為：

E[C_gross] = Σ (bestAsk_i × q_i × r_i)

期望手續費按比例跟隨：

E[Fees] = fee_rate × E[C_gross]（針對 taker 已成交部分）

但部分成交會產生非對稱的剩餘部位。保守的常見做法是假設任何剩餘的單一結果部位必須立即以較差的 mid/ask 價格平倉，並把該平倉的預期損失納入 EV。

例如，如果你原本預期買入一整套，但平均上 NO 只成交 90%，你會多持有 10% 的 YES，且你為這些 YES 支付的價格為 p_yes。最壞情況的剩餘損失大約為 0.90 × (p_yes − mid_unwind_price)（需考慮 tick size 與手續費）。把預期的剩餘損失項 L_residual 加入 EV。

4. 你可以實作的逐步 EV 公式

定義：

• n = 一套結果的項目數（binary 時 n=2）
• ask_i = 第 i 項結果的 best ask 價格（美元）
• q = 目標完整套數（股數；例如 10 套）
• fee = taker 手續費率（十進位，例如 0.006 代表 0.6%）
• r_i = 對腿 i 的預期成交比例（0..1）。要取全額成交機率時，設 r_i = 1.0。
• p_unwind_i = 預期你可用於平掉任何剩餘部位的價格（保守作法：使用當前較差的 ask 或 mid）

計算：

1. E[C_gross] = Σ_i ask_i × q × r_i
2. E[Fees] = fee × E[C_gross]
3. E[C_net] = E[C_gross] + E[Fees]
4. 完整套在可贖回時的期望贖回金 = q × 1.00 × P_redeem （P_redeem 為最終可贖回的機率；在沒有 UMA 爭議時通常為 1.0 — 但下方會將爭議風險考量進來）
5. 預期剩餘損失 L_residual = Σ_i max(0, q × (1 − r_i) × (paid_price_i − p_unwind_i))

最終 EV 估計：

EV = q × P_redeem − E[C_net] − L_residual

若要得到每套的 EV，將 EV 除以 q。

關於 P_redeem 的備註：UMA 的爭議可能會暫停或改變結算。把 P_redeem 設為 ≤ 1.0 以反映非零的爭議風險；對於多數市場你可以近似 P_redeem ≈ 1.0，但必須明確納入延遲或被爭議的可能性。

5. 實作範例（二元）— 可執行且保守

假設一個小型二元套利，你打算透過各自的 best-ask 買入 YES 與 NO，目標買入 100 套。僅以數字示範；手續費仍在文件範圍內。

• ask_YES = $0.49
• ask_NO = $0.50
• q = 100 套
• fee = 0.006（0.6% taker 手續費）
• r_YES = 1.0, r_NO = 0.95（NO 在第一層可能部分成交）
• p_unwind_NO = $0.52（你預期平掉剩餘 NO 的價格）
• P_redeem = 1.0（假設最終可贖回）

計算 E[C_gross] = (0.49 + 0.50) × 100 × average_r

更精確地：

E[C_gross] = (0.49 × 100 × 1.0) + (0.50 × 100 × 0.95) = 49.00 + 47.50 = 96.50

E[Fees] = 0.006 × 96.50 = 0.579

E[C_net] = 96.50 + 0.579 = 97.079

贖回金 = 100 × 1.00 = 100.00

L_residual：你原先預期 100 個 NO 但只拿到 95 個，因此相當於剩下 5 個 YES 沒有配對——若你為這些 YES 支付 0.49 而必須在 p_unwind_YES（保守估）平掉，則依照對稱性可用下式估算典型的剩餘損失：

L_residual = (q × (1 − r_NO)) × (paid_price_NO_unpaired − p_unwind_NO)

僅在未配對一側為較貴那側時才納入該損失。代入數字時要保守，避免高估 EV。

最終 EV = 100 − 97.079 − L_residual

若 L_residual 小，交易仍為正 EV；若 L_residual 超過名義 Edge，則交易為負 EV。請在下單前以程式化方式執行此數學運算。

6. 一個可用的 JavaScript 程式片段

下面程式片段會根據上列輸入計算每套的 EV。它是有效的 JavaScript，可直接放入你的風險框架中。

function computeEVPerSet(asks, r, fee, p_unwind, P_redeem = 1.0) {
  // asks: array of best asks for each outcome, e.g. [0.49, 0.50]
  // r: array of expected fill fractions for each outcome, e.g. [1.0, 0.95]
  const n = asks.length;
  const q = 1; // per-set basis

  const E_C_gross = asks.reduce((s, a, i) => s + a * q * r[i], 0);
  const E_Fees = fee * E_C_gross;
  const E_C_net = E_C_gross + E_Fees;

  // Residual loss: assume unfilled fraction must be closed at p_unwind
  const L_residual = asks.reduce((s, a, i) => {
    const unfilled = q * (1 - r[i]);
    const paid_price = a; // price you paid for filled portion of this outcome
    const unwind_price = p_unwind[i];
    return s + Math.max(0, unfilled * (paid_price - unwind_price));
  }, 0);

  const EV = q * P_redeem - E_C_net - L_residual;
  return { EV_per_set: EV, E_C_gross, E_Fees, L_residual };
}

// Example
const asks = [0.49, 0.50];
const r = [1.0, 0.95];
const fee = 0.006; // 0.6%
const p_unwind = [0.48, 0.52];
console.log(computeEVPerSet(asks, r, fee, p_unwind));

保守地調整 p_unwind 值（使用較差的 ask 或 mid），並根據你在該尺寸上的歷史成交率設定 r。

7. 實盤交易的實用建議

• 量化每個合約與每個尺寸的經驗成交率。使用短期且頻繁的量測窗口；市場微結構會隨市場而異。
• 把大型目標量分切成較小片段以降低部分成交風險，並避開 Builder 或 Relayer 的限額（如適用）。
• 考慮 tick-size 的行為：當價格接近極端時，tick size 會收窄至 $0.001，這會改變 unwind 的滑點。
• 在 P_redeem 中納入 UMA 爭議與結算時序風險。爭議會暫停結算並影響機會成本。
• 遵守地理限制：市場會以 IP 進行地理封鎖；切勿建議使用 VPN 覆蓋。

這如何影響你的交易

在下單前先計算每套 EV，並把它與你內部的最低可接受 EV 做比較，該最低值應已包含資本成本、被鎖定 pUSD 的機會成本，以及可能的爭議延遲成本。在小額且頻繁的套利中，你通常會要求在扣除手續費與預期剩餘損失後每套仍保有適度的正 EV，才能證明營運開銷是合理的。

結語與主要關鍵字：expected value Polymarket arbitrage 應始終以保守方式計算，明確將 taker 手續費與部分成交機率納入模型。

常見問題

我該如何為較大訂單建模部分成交機率？

以你交易尺寸的經驗成交率為起點。對小片段使用 Bernoulli 的假設；對較大尺寸，將成交建模為跨價格層的二項和，或使用歷史深度檔來確定性地切片你的委託。估計 r_i 時務必保守。

在 EV 計算中我應該包含哪些手續費？

包含已成交腿的 taker 手續費 — Polymarket 的 taker 手續費依分類介於 0% 到 1.8%；maker 手續費為零。將手續費建模為 fee_rate × 已執行成本，並在適用時把已執行成本拆分為 maker / taker 部分。

我需要在 EV 中考慮 UMA 爭議嗎？

需要。UMA 爭議可能暫停結算或改變時序。使用 P_redeem ≤ 1.0 來反映爭議機率與結算延遲所造成的時間價值／成本。

如果我預期稍後會再平倉，能忽略剩餘的 unwind 損失嗎？

不能。剩餘部位會帶來市場與方向性風險。除非你有文件化且統計上證明的再平倉計畫與已知成本，否則在 EV 模型中納入保守的平倉價格（p_unwind）。

名義 edge 與 EV 一樣嗎？

不一樣。名義 edge = 1.00 − Σ bestAsk_i。EV 會根據 taker 手續費、部分成交機率、剩餘平倉損失與結算／爭議風險來調整該 edge。以 EV 作為決策依據。